Georg Cantor: Matematiikan suuri läpimurto Jumalan tahdosta?

Georg Cantor (1845 - 1918), kuuluisa saksalainen matemaatikko, tunnetaan erityisesti joukko-oppia ja ääretöntä koskevista tutkimuksistaan. Cantor antoi äärettömän käsittelle täsmällisen, matemaattisen merkityksen, mikä on suuresti vaikuttanut nykyaikaisen matematiikan kehitykseen.

Cantor sai nauttia tiedeyhteisön arvostusta vasta uransa loppuvaiheessa. Hänen elämäntarinansa on - niinkuin ei ole harvinaista - yksinäisen neron tarina, jossa älyllinen loisto ja henkiset romahdukset vuorottelevat. Cantorin kohdalla tämä vastakohtaisuus johtui kaksisuuntaisesta mielialahäiriöstä. Masennusjaksot pahenivat iän karttuessa, ja Cantor joutui viettämään pitkiä aikoja parantolassa.

Cantor toi matematiikan kartalle tärkeitä osa-alueita, kuten aksiomaattisen joukko-opin, äärettömyyden asteet (transfiniittiset luvut) ja ns. kontinuumihypoteesin. Näiden yksityiskohdista ei tässä yhteydessä sen enempää. Mutta mikä sai aikaan, että Cantor alkoi tutkia äärettömyyttä ja uhrasi sille koko elämänsä?

Cantorin perheen taustaan kuuluivat luterilaisuus ja musikaalisuus. Sukuun kuului tunnettuja muusikoita. Cantorin isä kirjoitti pojalleen konfirmaatiopäivänä: "Elämässäsi tulee olemaan myös pimeitä aikoja. Synkimpinä hetkinä muista turvata Jumalaan". Isä korosti myös, että mitä poika sitten  isona tekeekin, hän ei saa tyytyä keskinkertaisuuteen.  Cantor opiskeli insinööriksi, mutta matemaattinen lahjakkuus ja kiinnostus aiheeseeen saivat Cantorin suuntautumaan matematiikan opintoihin. Hän teki työuransa matematiikan opettajana Hallen yliopistossa.

Funktio-oppiin liittyvät ongelmat johdattivat Cantorin tutkimaan lukuteoriaa, joukko-oppia ja äärettömyyttä.
Cantorille vahvistui näkemys siitä, millä tavoin ääretön voidaan ymmärtää matemaattisesti.  Cantor ilmaisi usein, että Jumala kommunikoi hänelle äärettömyyden luonteeseen liittyvät ideat.  Hänen tehtävänään olisi vain etsiä ja muotoilla näille ideoille vedenpitävä todistus. Tästä syystä Cantor alkoi kehittää ns. aksiomaattista joukko-oppia.

Cantor ymmärsi, että äärettömyyttä koskevalla täsmällisellä tiedolla voisi olla syvällisiä  teologisia seurauksia. Hän uskoi äärettömyyttä koskevien tutkimuksiensa johtavan uudenlaiseen teologiseen ajatteluun.

Cantorin radikaalit ajatukset eivät saaneet vastakaikua tiedeyhteisössä. Hän ei päässyt havittelemiinsa parempiin virkoihin. Tutkimusten julkaiseminen oli vaikeaa. Tutkimustyön alkuvaiheessa toinen tunnettu  matemaatikko R.Dedekind tuki ja opasti Cantoria. Myöhemmässä vaiheessa Dedekind jarrutteli Cantoria julkaisemasta tiettyjä tutkimuksia liian aikaisin, minkä Cantor tulkitsi vihamielisyydeksi entisen tukijansa taholta. Tapahtuma johti miesten välirikkoon.

Tutkijakollegoiden vastustus vähintäänkin pahensi ellei aiheuttanut Cantorille masennuskausia. Hän alkoi saada kuitenkin ajatuksilleen yllättävää sivustatukea: katolisilta kardinaaleilta ja itse paavilta.

1870-luvulla paaviksi valittu Leo XIII päätti reagoida Länsi-Euroopassa yleistyvään maallistumiseen ja materialismiin. Katolinen kirkko, joka ei yleensä loista uudistusmielisyydellään, päätti modernisoida oppinsa filosofiset perusteet. Niinsanottu uusskolastiikka, tai uustomismi (Tuomas Akvinolaisen mukaan) korostaa Luojan ja luodun täydellistä, kategorista erottamista toisistaan. Teologisessa mielessä tämä vapauttaa luonnontieteet tutkimaan luotua maailmaa vapaasti, ja sitä kautta mahdollisesti lisäämään Jumalan toimintaa koskevaa ymmärrystä.

Cantorin työn seurauksena äärettömästä tuli ensisijaisesti matemaattinen, täsmällinen käsite, kun se aiemmin oli ollut lähinnä osa filosofista ja teologista retoriikkaa. Cantor oli huolissaan siitä, että matemaattisen  äärettömyyden pinnallinen tulkinta voisi johtaa panteismiin eli oppiin siitä, että kaikki, myös näkyvä maailma, on erottamaton osa jumaluutta, mikä on vastoin kirkon filosofiaa. Tähän päädyttäisiin sitä kautta, että näkyvää maailmaa voisi myös ajatella äärettömäksi, jolloin se olisi tietyllä tavalla yhteismitallinen Jumalan kanssa.

Cantorin oppi äärettömästä kuitenkin osoitti, että äärettömyydellä on eri asteita. Näitä asteita on äärettömästi. Cantor ratkaisi teologisen ongelman esittämällä, että vain Jumalassa toteutuu korkein näistä asteista, äärettömyyksien äärettömyys tai 'absoluutti', jonka olemassaolon teoria osoittaa, mutta joka itse jää teorian selitysvoiman ulkopuolelle. Tästä asiasta Cantor siis kävi kirjeenvaihtoa kardinaalien kanssa, ja osapuolet olivat päätelmiin tyytyväisiä.

Kuinka äärettömyyksiä voi sitten olla monia erilaisia? Yksinkertaisin äärettömyys ovat kokonaisluvut. Näkyvässä maailmassa se tarkoittaa, että kaikki asiat ovat viime kädessä eroteltavissa toisistaan ja siten numeroitavissa 1,2,3... Toinen, laajempi äärettömyyden aste on jatkumo, kontinuumi. Jos näkyvä maailma on kontinuumi, erot asioiden välillä ovat viime kädessä vain tulkinnallisia aste-eroja, ja pohjimmiltaan todellisuus on yhtenäinen, katkematon 'virta'. Cantor oli vakuuttunut siitä, että kokonaisluvut ja kontinuumi ovat nimenomaan kaksi ensimmäistä äärettömyyden astetta. Tämä on niinsanottu kontinuumihypoteesi. Uransa loppuvaiheessa Cantor työskenteli uupumukseen asti kontinuumihypoteesin parissa, mutta ei onnistunut todistamaan sitä oikeaksi tai vääräksi.


Cantorin äärettömyysteoriasta tuli vähitelleen tärkeä puheenaihe matemaatikkojen piirissä, ja Cantor alkoi saada tunnustusta. Teorian pohjalta alettiin järjestää konferensseja. Kontinuumihypoteesi sekä oppi äärettömyyksien äärettömyydestä ovat olleet kuumia puheenaiheita matematiikassa tähän päivään asti. Kuitenkin se, että äärettömyyksien äärettömyys jäi teorian selitysvoiman ulkopuolelle, ei tyydyttänyt matemaatikkoja: teoria ei siis ollut tältä osin aukoton.

Konferenssissa v. 1904, jossa Cantor oli pääroolissa, arvostettu matemaatikko König ilmoitti löytäneensä virheen Cantorin teoriasta. Asiasta noussut kohu oli niin suuri, että se ylitti uutiskynnyksen tavallisissa päivälehdissä. Cantor, jonka mielenterveys horjui muutenkin, oli aivan poissa tolaltaan. Hän ei voinut ymmärtää, kuinka Jumala salli hänen elämäntyölleen tapahtua tällaista. Hän oli vakuuttunut, että koska Jumala oli kommunikoinut hänelle teorian perusteet, sen olisi pitänyt olla ei pelkästään oikea, vaan myös ainoa mahdollinen.

Koolla olevat matemaatikot syventyivät ongelmaan, ja jo seuraavana päivänä huomattiin, että König:n käyttämästä  menetelmästä Cantorin virheen osoittamiseksi löytyi virhe!

Tapaus piti osaltaan huolen siitä, että Cantorin teoria on pysynyt puheenaiheena tähän päivään asti. Tosin vuoden 1904 jälkeen tapahtumat eivät ole vyöryneet aivan yhtä dramaattisesti. Vaikka Königin esittämä kritiikki Cantorin teoriaa kohtaan sisälsi virheen, se ei ollut kokonaan pätemätöntä. Jo jonkin aikaa matemaatikkoja oli vaivannut se, että joukko-opin aksioomia eli perusoletuksia ei voitu valita aukottomasti. Mm. filosofi Bertrand Russell nosti aikoinaan ongelman selkeästi esiin.

1900-luvulla tunnettu teoreetikko Kurt Gödel osoitti ns. epätäydellisyyslauseiden avulla, että matematiikan  aksioomajärjestelmistä ei saa aukottomia, asetettiin ne miten tahansa. Kontinuumihypoteesin kohdalla eri teoreetikot tahoillaan osoittivat, että sitä ei voi periaatteessa todistaa toisaalta oikeaksi, toisaalta vääräksi.

Aivan viime aikoina tutkijat ovat kuitenkin yrittäneet kiertää näitä esteitä. On saatu viitteitä siitä, että kontinuumi voisi ehkä ollakin kolmannen asteen (alef-2) äärettömyys, mutta tätä ei ole voitu pitävästi osoittaa.

Kukaan ei ole kuitenkaan 140 vuoteen esittänyt äärettömyyttä koskevaa parempaa teoriaa kuin Georg Cantor.

Cantorin tarina on vain yksi esimerkki niistä länsimaisen ajattelun ja tieteen edistysaskelista, joiden liikkeellepanevana voimana on ollut usko Jumalaan. Tätä on helppo perustella filosofisesti: usko Jumalaan tarkoittaa uskoa siihen, että täydellinen tieto ja ymmärrys ovat olemassa Jumalan mielessä. Silloin niiden täytyy olla mahdollisia. Kyse on sen jälkeen vain siitä, missä määrin ne ovat ihmisen saavutettavissa.

Tunnettu matemaatikko D.Hilbert antoikin Cantorille tämän ansaitseman tunnustuksen sanomalla, että "Kukaan ei voi riistää matemaatikoilta sitä paratiisia, jonka portit Cantor heille aukaisi".

Lähteet:

Dauben, J.W. (1979): Georg Cantor, His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Princeton University Press.

Michael Heller & W.Hugh Woodin (ed.) (2011). Infinity, new research frontiers. Cambridge University Press.

Wikipedia (uusskolastiikka)

"Älykkään suunnittelun (ID)" kritiikkiä

Puhuttaessa Jumalasta ja tieteestä, on usein ja myös aiheestakin käytetty nimitystä "aukkojen Jumala". Se tarkoittaa, että selitetään jumalallisiksi sellaiset luonnonilmiöt, joita tiede ei osaa tyydyttävästi selittää. Tästä on seurannut, että Jumalan elintila pienenee pienenemistään sitä mukaa, kun luonnontiede edistyy.

On selvää, että tällaisessa ajattelussa on jokin perusvirhe. Tämä virhe on, että käsitys Jumalan ja fyysisen todellisuuden välisestä suhteesta muodostetaan inhimillisen ajattelun keinoin (kuinka muutenkaan).

Lähestyn seuraavaksi kysymystä elämän synnystä ja evoluutiosta siitä näkökulmasta, että kaikki inhimillinen ajattelu, mukaanlukien niin luonnontiede kuin teologiakin, pohjautuvat äärellisyyteen, kun Jumala on aidosti (matemaattisesti) ääretön.

Luonnontiede pystyy koko ajan paremmin selittämään erilaisia luonnonilmiöitä. Monet teoriat ovat vielä alkutekijöissään, ja esim. elämän syntyä (biogeneesiä) ja evoluutioteoriaa voi pitää raakileina, kun ottaa huomioon, miten paljon selitettävää elämän kehittymisessä on. Mutta luonnontiede tulee edistymään. Pidän mahdollisena, että elämän synnylle ja kehitykselle löytyy lopulta luonnollinen, naturalistinen selitys.

Tämä ei kuitenkaan tarkoita, että Jumala ei olisi luonut maailmaa, vaan sitä, että Jumalan luomistyö on täydellinen ja yhtenäinen.

Ajatelkaamme vertailun vuoksi, että ns. älykkään suunnittelun (ID) kannattajat voisivat osoittaa vastaansanomattomasti, että jotkin eliöiden ominaisuudet eivät ole voineet syntyä luonnollisen kehityksen kautta, vaan että ne välttämättä ovat rakennettuja. Tämä toki osoittaisi, että älykäs suunnittelija on olemassa, mutta samalla se johtaisi epäyhtenäiseen jumalakuvaan. Luonnossa olisi siis sekä spontaaneja että älykkäästi suunniteltuja (rakennettuja) ominaisuuksia, mistä seuraisi joukko varsin hankalia jatkokysymyksiä. Eikö Jumala osannutkaan luoda kaikkea yhtenäisellä tavalla ? Mitkä ominaisuudet lopulta ovat spontaaneja, mitkä rakennettuja (koska spontaania kehitystä kiistatta myös tapahtuu, kun ajatellaan luontoa kokonaisuudessaan) ? Mitä rakennetut ominaisuudet paljastavat Jumalan ajattelusta ja äo:sta ? Miksi tämä paljastuu ihmiskunnalle vasta nyt ?

Itse pidän tällaisia kysymyksiä lähtökohdiltaan kyseenalaisina - että Jumala jäisi ikäänkuin tutkijoiden haaviin jonkin luonnossa tavattavan ilmiön perusteella. Pidän tätä Jumalan aliarvioimisena (inhimillistämisenä). Mielestäni se ainutlaatuinen yhtenäisyys, jonka tapaamme luonnossa, pitää yhtä sen Raamatussa esitetyn ajatuksen kanssa, että luomakunta nimenomaan yhtenä kokonaisuutena julistaa Jumalan tekoja. Joko uskomme että kaikki luonnossa julistaa Jumalan tekoja, tai sitten ei mikään; ja että näin tulee aina olemaan.

Matemaattisesti ääretön Jumala kykenee luomaan maailman niin, että se alusta loppuun asti toimii omien, täydellisen harmonisten sääntöjen mukaan, luoden elävän luonnon ja ihmisen. Äärellinen ihminen, jonka äärellisen ajattelun välineet pohjautuvat yksinomaan tähän luotuun maailmaan, vain näkee tapahtumat spontaaneina. Ihminen ei voi koskaan edes ajatuksissaan tavoittaa Jumalan äärettömien mahdollisuuksien maailmaa.